Question

【題目】如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上時(shí)，那么我們稱拋物線與“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線：與：是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)分別是拋物線，的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）直接寫出的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)分別是拋物線，上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，記面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)），的面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，），令，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，寫出的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）或；理由見(jiàn)解析；（3）-2≤x≤2，當(dāng)時(shí)，的最大值為16．

【解析】

（1）由拋物線：可得，將，代入，求得，；

（2）易得直線的解析式：，①若為直角頂點(diǎn)，，；②若為直角頂點(diǎn)，，；③若為直角頂點(diǎn)，設(shè)不符合題意；

（3）由，得，設(shè)，，且，易求直線的解析式：，過(guò)作軸的平行線交于，，設(shè)交于點(diǎn)，易知，，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為.

（1）由拋物線：可得，

將代入

得，

解得，

∴，

∴；

（2）易得直線的解析式：，

①若為直角頂點(diǎn)，，

∴，

直線解析式為

聯(lián)立，

解得或，

∴；

②若為直角頂點(diǎn)，，

同理得解析式：，

聯(lián)立，

解得或，

∴；

③若為直角頂點(diǎn)，設(shè)

由得，

即，

或（無(wú)解）

解得或（不符合題意舍去），

∴點(diǎn)或；

（3）∵，

∴，

設(shè)，，且，

易求直線的解析式：，

過(guò)作軸的平行線交于，

則，

設(shè)交于點(diǎn)，易知，

，

當(dāng)時(shí)，的最大值為16．