Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）連接BC，若cos∠CAD＝，⊙O的半徑為5，求CD、AE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝，AE＝．

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，所以∠1＝∠2；

（2）連接BC、BE，BE交OC于F，如圖，利用圓周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，在Rt△ACB中利用余弦定義可計算出AC＝8，則在Rt△ACD中可計算出AD＝ ，從而利用勾股定理計算出CD＝ ，利用四邊形DEFC為矩形得到EF＝CD＝，OF⊥BE，然后根據(jù)勾股定理可計算出AE．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠2＝∠3，

∵OC＝OA，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AC平分∠DAB；

（2）解：連接BC、BE，BE交OC于F，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB＝∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，∵cos∠1＝cos∠2＝，

∴AC＝ ×10＝8，

在Rt△ACD中，cos∠2＝＝ ，

∴AD＝×8＝，

∴CD＝，

易得四邊形DEFC為矩形，

∴EF＝CD＝，OF⊥BE，

∴BE＝2EF＝ ，

在Rt△ABE中，AE＝，

∴CD＝，AE＝ ．