Question

【題目】如圖，已知，，，斜邊，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速行動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停讓運(yùn)動(dòng)．連接，，交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時(shí)，平分？

（2）設(shè)四邊形的面積為，求與的函教關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；

（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，，理由見解析

【解析】

（1）當(dāng)平分時(shí)，≌，得到AO=NO，繼而問題得解；

（2）由，進(jìn)而求解；

（3）關(guān)鍵當(dāng)時(shí)，得到，建立方程解得t的值繼而求解；

（4）關(guān)鍵是過點(diǎn)C作CG//OB，得到∽，有，建立關(guān)于t的方程求解即可．

解:（1）當(dāng)平分時(shí)，

∵∠AMO=∠NMO，MO=MO，∠AOB=∠COD，

∴≌(ASA)，

∴AO=NO，

∵，，，，

∴NO=AO=,

∴2t=4

∴

（2）如圖，分別為的邊OM，ON上的高

∵∠AOM=∠NOM=60°

∴，，

OM=4+t，ON=2t，

∴

（3）由知，

，MA=OM-DA，而OA=cos60°×AO=2

∴

∴

∴

∴

（4）存在，理由如下

如圖過點(diǎn)C作CG//OB,交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ,

∴∠1=∠2，∠3=∠4，PD=PC

≌

∴MD=CG=t，

由CG//OB，易知∽

又∵,

而ON=2t，CN=8-2t，OM=OD+DM=4+t，

∴

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，

故存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．