Question

如圖所示，已知點A的坐標(biāo)是（-1，0），點B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線。
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， ∴， 又∵A（-1，0），B（9，0）， ∴， 解得OC=3（負(fù)值舍去）， ∴C（0，-3）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9）， 解得a=， ∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2）∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0），  ∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D， ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°， 連結(jié)O′D交BC于點M，則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5， ∴D（4，-5）， ∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0） ∴  解得 ∴直線BD的解析式為y=x-9； （3）假設(shè)在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD， 設(shè)射線DP交⊙O′于點Q，則， 分兩種情況（如答案圖1所示）： ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）， ∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合， 因此，點Q1（7，-4）符合， ∵D（4，-5），Q1（7，-4）， ∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x-， 解方程組得 ∴點P1坐標(biāo)為（）， [坐標(biāo)為（）不符合題意，舍去]， ②∵Q1（7，-4）， ∴點Q1關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為Q2（7，4）也符合， ∵D（4，-5），Q2（7，4）， ∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x-17， 解方程組得 ∴點P2坐標(biāo)為（14，25）， [坐標(biāo)為（3，-8）不符合題意，舍去]， ∴符合條件的點P有兩個：P1（），P2（14，25）。