Question

（2013•莒南縣二模）如圖，對稱軸為直線x=-

7

2

的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-6，0）和點(diǎn)B（0，4）．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)?OEAF的面積為24時(shí)，請判斷?OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使?OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．•

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+

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2

）²+k，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、k的值；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知S=2S_△OAE，△OAE的底為AO，高為E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，由此列出函數(shù)關(guān)系式，①當(dāng)S=24時(shí)，由函數(shù)關(guān)系式得出方程，求x的值，再逐一判斷；②不存在，只有當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時(shí)，□OEAF是正方形，由此求出E點(diǎn)坐標(biāo)，判斷E點(diǎn)坐標(biāo)是否在拋物線上．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+

7

2

）²+k（k≠0），
則依題意得：

24

25

a+k=0，

49

4

a+k=4
解之得：a=

2

3

，
k=-

25

6

即：y=

2

3

（x+

7

2

）²-

25

6

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

7

2

，-

25

6

）；

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，且位于第三象限．
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×0A×（-y）
=-6y
=-4（x+

7

2

）²+25  （-6＜x＜-1）；
①當(dāng)S=24時(shí)，即-4（x+

7

2

）²+25=24，
解之得：x₁=-3，x₂=-4
∴點(diǎn)E為（-3，-4）或（-4，-4）
當(dāng)點(diǎn)E為（-3，-4）時(shí)，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；
當(dāng)點(diǎn)E為（-4，-4）時(shí)，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時(shí)，□OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，-3），
而點(diǎn)E不在拋物線上，故不存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示面積，由特殊平行四邊形的性質(zhì)確定E點(diǎn)坐標(biāo)，判斷E點(diǎn)坐標(biāo)是否在拋物線上，確定存在性．