Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D。

（1）求證：BC是⊙O切線；

（2）若BD=5,DC=3,求AC的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長(zhǎng)，再通過(guò)證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長(zhǎng)．

試題解析：（1）連接OD；

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE==4，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴．

∴．

∴AC=6．