Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是BC邊上任一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)CE的長(zhǎng)為_____時(shí)，△CEB′恰好為直角三角形．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．

連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E＝∠B＝90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C＝90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，則EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可計(jì)算出CB′＝2，設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x，可得CE的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形，可得BE的長(zhǎng)，即可求CE的長(zhǎng)．

解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．

連結(jié)AC，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝ ＝5，

∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，

∴∠AB′E＝∠B＝90°，

當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C＝90°，

∴點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，

∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，

∴CB′＝5﹣3＝2，

設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2＝CE2，

∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，

∴BE＝，CE＝4﹣＝

②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．

此時(shí)ABEB′為正方形，

∴BE＝AB＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1

綜上所述：CE＝1或

故答案為：1或