Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點c（0，3）．
（1）求此拋物線所對應函數(shù)的表達式；
（2）若拋物線的頂點為D，在其對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A、B的坐標設拋物線餓表達式是y=a（x+1）（x-3），把C的坐標代入求出a，即可得出答案；
（2）求出D的坐標和對稱軸的表達式，分為兩種情況：①若以CD為底邊，則PC=PD．設P點坐標為（a，b），根據(jù)勾股定理求出b=4-a，代入拋物線求出a、b，②若以CD為一腰，根據(jù)拋物線對稱性得出點P與點C關于直線x=1對稱，即可求出P的坐標．
解答：解：（1）拋物線與x軸交于點（-1，0）和（3，0），
設表達式為y=a（x+1）（x-3），
又點（0，3）在拋物線上，則3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表達式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PC=PD．設P點坐標為（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．      
又點P（a，b）在拋物線上，b=-a²+2a+3，
則 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得（不合題意，舍去）
∴，
則，
P（，）；
②若以CD為一腰，因點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，
此時點P坐標為（2，3），
綜上所述，符合條件的點P坐標為（）或（2，3）．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定等知識點的運用，培養(yǎng)學生運用性質(zhì)進行計算的能力，用的數(shù)學思想是分類討論思想，題目綜合性比較強，有一定的難度．