Question

【題目】如圖1，已知直線y= x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過(guò)A．C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q在拋物線上，且△AQC與△BQC面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，P為△AOC外接圓上弧ACO的中點(diǎn)，直線PC交x軸于點(diǎn)D，∠EDF=∠ACO，當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，DE交直線AC于點(diǎn)M，DF交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N．請(qǐng)你探究：CN﹣CM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入直線的解析式得：y=2，

∴C（0，2）．

把y=0代入直線的解析式得： x+2=0，解得：x=﹣5，

∴A（﹣5，0）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：令y=0得：﹣ x2﹣ x+2=0，解得x=1或x=﹣5，

∴B（1，0）．

如圖1所示：當(dāng)Q在直線AC上方的拋物線上時(shí)．

∵△ACQ和△BCQ為同底的三角形，且它們的面積相等，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線CQ的距離相等．

∴QC∥AB．

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)C關(guān)于x=﹣2對(duì)稱，

∴Q（﹣4，2）．

如圖2所示：當(dāng)Q在直線AC下方的拋物線上時(shí)．

設(shè)直線CQ與x軸于點(diǎn)L，則△ACQ的面積= AL|yC﹣yQ|，△BCQ的面積= BL|yC﹣yQ|．

∵△ACQ的面積等于△BCQ的面積，

∴AL=BL．

∴L（﹣2，0）．

設(shè)直線LC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)L的坐標(biāo)代入得： ，解得k=1，b=2．

∴直線CL的解析式為：y=x+2．

將y=x+2與y=﹣ x2﹣ x+2聯(lián)立得： ，解得： 或 ，

∴Q（﹣ ，﹣ ）．

綜上所述，存在兩個(gè)符合條件的點(diǎn)：Q（﹣4，2）或Q（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：如圖3所示：

設(shè)△AOC的外接圓圓心為S，連接SP，作∠NDR=∠PDE，交y軸于點(diǎn)R，則∠PDR=∠MDN=∠ACO，

∵P是弧ACO的中點(diǎn)，

∴SP平行于y軸，

∴∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD，

∴△SCP∽△DCR．

∴△DCR也是等腰三角形，即CD=DR；

又∵DO⊥CR，

∴OC=OR=2．

∴CR=4

∵∠PCS=∠DRC，

∴∠DCM=∠DRN．

在△DCM和△DRN中 ，

∴△DCM≌△DRN．

∴CM=RN．

∴CN﹣CM=CN﹣RN=CR=4

【解析】（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a、b的值即可；（2）先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，當(dāng)Q在直線AC上方的拋物線上時(shí)．△ACQ和△BCQ為同底的三角形，則QC∥AB，依據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)Q在直線AC下方的拋物線上時(shí)．設(shè)直線CQ與x軸于點(diǎn)L，由△ACQ的面積等于△BCQ的面積，可知AL=BL，然后求得CL的解析式，最后求得LC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）設(shè)△AOC的外接圓圓心為S，連接SP，作∠NDR=∠PDE，交y軸于點(diǎn)R，先證明△SCP∽△DCR，則CD=DR，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知OC=OR=2．然后再證明△DCM≌△DRN，則CM=RN，最后證明CN﹣CM=CR即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)．