Question

【題目】一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30厘米的正方形，再四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長是4a（cm），寬是3a（cm），這個無蓋鐵盒各個面的面積之和稱為鐵盒的全面積．

（1）請用a的代數(shù)式表示圖1中原長方形鐵皮的面積；

（2）若要在鐵盒的各個外表面漆上某種油漆，每元錢可漆的面積為（cm2），則油漆這個鐵盒需要多少錢（用a的代數(shù)式表示）？

（3）鐵盒的底面積是全面積的幾分之幾（用a的代數(shù)式表示）？若鐵盒的底面積是全面積的，求a的值；

（4）是否存在一個正整數(shù)a，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍？若存在，請求出這個a，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12a2+420a+3600；

（2）600a+21000（元）；

（3）a=105；

（4）存在鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍，這時a=35或7或5或1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圖形表示出原長方形鐵皮的面積即可；

（2）根據(jù)原長方形鐵皮的面積剪去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，乘以單價即可得到結(jié)果；

（3）用鐵盒的底面積除以全面積即可得出底面積是全面積的幾分之幾，再根據(jù)鐵盒的底面積是全面積的，求出a的值即可；

（4）假設(shè)存在，列出鐵盒的全面積和底面積的公式，求整數(shù)倍數(shù)即可．

解：（1）原鐵皮的面積是（4a+60）（3a+60）=12a2+420a+3600；

（2）油漆這個鐵盒的表面積是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a，

則油漆這個鐵盒需要的錢數(shù)是：（12a2+420a）÷=（12a2+420a）×=600a+21000（元）；

（3）鐵盒的底面積是全面積的=；

根據(jù)題意得：=，

解得a=105；

（4）鐵盒的全面積是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a，

底面積是12a2，

假設(shè)存在正整數(shù)n，使12a2+420a=n（12a2）

則（n﹣1）a=35，

則a=35，n=2或a=7，n=6或a=5，n=8或a=1，n=36

所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍，這時a=35或7或5或1．