Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+2x+3的圖象與x軸交于點A、點B（點B在X軸的正半軸上），與y軸交于點C，其頂點為D，直線DC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+3，又tan∠OBC=1，
（1）求a、k的值；
（2）探究：在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點P（點P與點B、C補(bǔ)重合），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=kx+3與y軸相交于點C，得C（0，3），由tan∠OBC=1可求得點B（3，0）；所以a=-1，即y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點D（1，4），代入一次函數(shù)可知k=1．
（2）在y軸上取一點F（0，-3），則OF=OC=3，由對稱性可知：∴∠CBF=90°，設(shè)直線BF與二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象交于點P，由（1）知B（3，0），直線BF的函數(shù)關(guān)系式為y=x-3，聯(lián)立方程組求解可得點P（-2，-5），所以存在點P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形．

解答：解：（1）由直線y=kx+3與y軸相交于點C，得C（0，3）
∵tan∠OBC=1
∴∠OBC=45°∴OB=OC=3
∴點B（3，0）（1分）
∵點B（3，0）在二次函數(shù)y=ax²+2x+3的圖象上
∴9a+6+3=0（2分）
∴a=-1（3分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴頂點D（1，4）（4分）
又∵D（1，4）在直線y=kx+3上
∴4=k+3
∴k=1
即：a=-1，k=1．（5分）

（2）在二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象上存在點P，使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形（6分）
由（1）可知，直線y=x+3與x軸的交點為E（-3，0）
∴OE=OC=3
∴∠CEO=45°
∵∠OBC=45°
∴∠ECB=90°（7分）
∴∠DCB=90°
∴△DCB是以BC為一條直角邊的直角三角形，且點D（1，4）在二次函數(shù)的圖象上，則點D是所求的P點（8分）
方法一：設(shè)∠CBP=90°，點P在二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象上，則△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形，
∵∠CBO=45°
∴∠OBP=45°設(shè)直線BP與y軸交于點F，則F（0，-3）
∴直線BP的表達(dá)式為y=x-3（9分）
解方程組

y=x-3 y=-x2+2x+3

得

x=3 y=0

或

x=-2 y=-5

由題意得，點P（-2，-5）為所求．
綜合①②，得二次函數(shù)y-x²+2x+3的圖象上存在點P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形（10分）
方法二：在y軸上取一點F（0，-3），則OF=OC=3，由對稱性可知，
∠OBF=∠OBC=45°
∴∠CBF=90°設(shè)直線BF與二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象交于點P，由（1）知B（3，0），
∴直線BF的函數(shù)關(guān)系式為y=x-3（以下與方法一同）（9分）
解方程組

y=x-3 y=-x2+2x+3

得

x=3 y=0

或

x=-2 y=-5

由題意得，點P（-2，-5）為所求．
綜合①②，得二次函數(shù)y-x²+2x+3的圖象上存在點P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形．

點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．