Question

將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接CD．

（1）填空：如圖1，AC=

 

，BD=

 

；四邊形ABCD是

 

梯形；
（2）請寫出圖1中所有的相似三角形；（不含全等三角形）
（3）如圖2，若以AB所在直線為軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系，保持△ABD不動，將△ABC向x軸的正方向平移到△FGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，△FBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理可得AC=BD=

82-42

=4

3

；易知△ADC≌△BCD，利用四邊形內(nèi)角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB，∵AD=BC∴四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）圖中的三角形分為兩類：30°，30°，120°；30°，60°，90度．按此找相似三角形即可；
（3）過P作出△FBP的高．△FBP面積應(yīng)等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；則KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．注意用t表示的線段應(yīng)大于0．

解答：解：（1）4

3

，4

3

，等腰；

（2）共有9對相似三角形．
①△DCE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，
分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5對）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2對）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2對）
所以，一共有9對相似三角形．

（3）由題意知，F(xiàn)P∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
過點(diǎn)P作PK⊥FB于點(diǎn)K，則FK=BK=

1

2

FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8-t，BK=

1

2

（8-t）．
在Rt△BPK中，PK=BK•tan∠2=

1

2

（8-t）tan30°=

3

6

（8-t）．
∴△FBP的面積S=

1

2

•FB•PK=

1

2

（8-t）•

3

6

（8-t），
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

3

12

（8-t）²，或S=

3

12

t²-

4 3

3

t+

16

3

3

，
t的取值范圍為：0≤t＜8．

點(diǎn)評：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿和記憶；有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，從而使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略”．此題正是在常見的三角板的操作變形中，將幾何中的平移知識，代數(shù)中的函數(shù)知識有機(jī)地進(jìn)行結(jié)合，要求學(xué)生抓住問題中的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行探究．