Question

已知等邊三角形ABC邊長為2，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：
①DE=1；②AB邊上的高為

3

；③tan∠CDE=

3

；④△CDE的面積與四邊形ABED面積之比為1：4．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：先根據(jù)題意，畫出圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1，判斷①正確；
作AB邊的高CF，利用三角函數(shù)求出CF等于

3

，判斷②正確；
先由中位線定理得出DE∥BC，∠CDE=∠A=60°，由tan60°=

3

判斷③正確；
由DE∥AB，可得△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出△CDE的面積與△CAB面積之比為1：4，進(jìn)而求出△CDE的面積與四邊形ABED面積之比為1：3，判斷④錯(cuò)誤．

解答：解：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=

1

2

AB=1，故①正確；
作AB邊的高CF，則∠AFC=90°，CF=AC×sinA=2×

3

2

=

3

，故②正確；
∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠A=60°，∴tan∠CDE=tan60°=

3

，故③正確；
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，∴S_△CDE：S_{四邊形ABED}=1：3，故④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；
相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似；
相似三角形的面積比等于相似比比的平方．