在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=mx2-2mx-2(m≠0)與y軸交于點A,其對稱軸與x軸交于點B.
(1)求點A,B的坐標;
(2)設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱,求直線l的解析式;
(3)若該拋物線在-2<x<-1這一段位于直線l的上方,并且在2<x<3這一段位于直線AB的下方,求該拋物線的解析式.
(1)當x=0時,y=-2,
∴A(0,-2),
拋物線的對稱軸為直線x=-
-2m
2m
=1,
∴B(1,0);

(2)易得A點關于對稱軸直線x=1的對稱點A′(2,-2),
則直線l經(jīng)過A′、B,
設直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),
2k+b=-2
k+b=0
,
解得
k=-2
b=2
,
所以,直線l的解析式為y=-2x+2;

(3)∵拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴拋物線在2<x<3這一段與在-1<x<0這一段關于對稱軸對稱,
結合圖象可以觀察到拋物線在-2<x<-1這一段位于直線l的上方,在-1<x<0這一段位于直線l的下方,
∴拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1,
當x=-1時,y=-2×(-1)+2=4,
所以,拋物線過點(-1,4),
當x=-1時,m+2m-2=4,
解得m=2,
∴拋物線的解析式為y=2x2-4x-2.
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(4)在(2)、(3)的條件下,若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合),過點M作MN∥BD交x軸于點N,連接PM、PN,設OM的長為t,△PMN的面積為S,求S和t的函數(shù)關系式,并寫出自變量t的取值范圍,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此時M點的坐標;若不存在,說明理由.

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