Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC． E，F(xiàn)分別在AD，DC的延長線上，且DE=CF、AF，BE交于點(diǎn)P，且分別交DC，BC于點(diǎn)H，G．
（1）求證：AF=BE；
（2）請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）延長BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，試求三角形MBP和三角形MBH的面積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)SAS判定△BAE≌△ADF，由全等三角形的性質(zhì)得出BE=AF．
（2）由△BAE≌△ADF得出∠ABE=∠DAF，進(jìn)而得到∠BPF=∠BAE，再根據(jù)AD與BC平行，得出∠BPF的度數(shù)．
（3）延長BA，CD交于點(diǎn)M，首先證明△ABP∽△HBM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出HB的長度，再根據(jù)同高的三角形的面積之比等于其對(duì)應(yīng)的底邊長之比得出三角形MBP和三角形MBH的面積比．
解答：解：（1）∵AB=CD，AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）

（2）猜測∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．（3分）

（3）延長BA，CD交于點(diǎn)M，則△MBC為正三角形．
∵∠BPF=120°，
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM，
∴△ABP∽△HBM．
∴，即．
∴
則S_△MBP：S_△MBH=BP：BH=81：128．（5分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、以及同高的三角形的面積之比等知識(shí)．