Question

20．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，C），點(diǎn)E在BC所在直線上，連結(jié)AD，AE，且∠DAE=45°
（1）若點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，DF，EF
①求證：△ABD≌△ACF；
②若BD=1，DE=2，求CE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若BD=$\frac{8}{5}$，AB=$\sqrt{2}$，求CE的長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出答案即可）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得到AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，再根據(jù)同角的余角相等，得到∠BAD=∠FAC，即可判定△ABD≌△ACF（SAS）；
②由①可得：△ABD≌△ACF，據(jù)此得出∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，進(jìn)而得到∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，再根據(jù)DE=EF=2，運(yùn)用勾股定理求得CE即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，EF；當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，BF，EF．分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得CE的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)，
∴AE垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
即∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

②由①可得：△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE=EF=2，
∴CE=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$；

（2）CE=3或$\frac{5}{4}$．
理由：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，EF，
根據(jù)△ABD≌△ACF，可得BD=CF=$\frac{8}{5}$，
在等腰直角三角形ABC中，AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，
∴CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE+$\frac{2}{5}$=EF，
在Rt△CEF中，CE²+（$\frac{8}{5}$）²=（CE+$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=3；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連結(jié)AF，BF，EF，
根據(jù)△ABF≌△ACD，可得BF=CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE-$\frac{2}{5}$=EF，
又∵BE=BC-CE=2-CE，
∴在Rt△BEF中，（$\frac{2}{5}$）²+（2-CE）²=（CE-$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)以判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．