精英家教網(wǎng)點(diǎn)D是等腰Rt△ABC的直角邊BC上一點(diǎn)，AD的中垂線EF分別交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．
①當(dāng)CD=
2
時，求AE；
②當(dāng)CD=2（
2
-1）時，試證明四邊形AEDF是菱形．
分析：①根據(jù)勾股定理可得AD=
AC2+CD2
=
4+2
=
6
，再證AOE∽△ACD，∴AO：AC=AE：AD，即求AE．
②要證四邊形AEDF是菱形，只需通過定義證明四邊相等即可．過D作DG⊥AB于G，通過計算得DG=CD，證得Rt△ADC≌Rt△AGD，△AED≌△AFD，∴AF=FD=AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形．
解答：解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD=
AC2+CD2
=
4+2
=
6
，
∵EF是AD的中垂線，
∴∠AOE=∠C=90°，AO=
1
2
AD=
6
2
，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE=
AO•AD
AC
=
3
2
．

②過D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（
2
-1）=2-2
2
+2=4-2
2
，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2
2
）×
2
2
=2（
2
-1）=CD，
則在直角△ADC和直角△AGD中：
CD=DG
AD=AD

∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，精英家教網(wǎng)
∵EF是AD的中垂線，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴∠AFD=∠AED，
∴△AED和△AFD中，
∠FAD=∠EAD
AD=AD
∠ADF=∠ADE
，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四邊形AEDF是菱形．
點(diǎn)評：本題利用了：1：勾股定理，2、等腰直角三角形的性質(zhì)，3、全等三角形的判定和性質(zhì)，4、四邊相等的四邊形是菱形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為F，且AB=DE．
（1）求證：△DBC是等腰Rt△；
（2）若BD=8cm，求AC的長；
（3）在（2）的條件下求BF的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分線，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在圖1中，∠AOC的度數(shù)為
90°
90°
；與線段BO相等的線段為
CO和AO
CO和AO
；
（2）將圖1中的△AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A1OC1，如圖2，連接AA1，BC1，試判斷S△AOA1與S△BOC1的大小關(guān)系？并給出你的證明；
（3）將圖1中的△ABO繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，如圖3，點(diǎn)P為MC的中點(diǎn)，連接PA、PN，求證：PA=PN．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

點(diǎn)D是等腰Rt△ABC的直角邊BC上一點(diǎn)，AD的中垂線EF分別交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．
①當(dāng)CD=數(shù)學(xué)公式時，求AE；
②當(dāng)CD=2（數(shù)學(xué)公式-1）時，試證明四邊形AEDF是菱形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：證明題

點(diǎn)D是等腰Rt△ABC的直角邊BC上一點(diǎn)，AD的中垂線EF分別交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2
①當(dāng)CD=時，求AE；
②當(dāng)CD=2（-1）時，試證明四邊形AEDF是菱形。

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