Question

點D是等腰Rt△ABC的直角邊BC上一點，AD的中垂線EF分別交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．
①當CD=時，求AE；
②當CD=2（-1）時，試證明四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD===，
∵EF是AD的中垂線，
∴∠AOE=∠C=90°，AO=AD=，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE==．

②過D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（-1）=2-2+2=4-2，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2）×=2（-1）=CD，
則在直角△ADC和直角△AGD中：

∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂線，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴∠AFD=∠AED，
∴△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四邊形AEDF是菱形．
分析：①根據(jù)勾股定理可得AD===，再證AOE∽△ACD，∴AO：AC=AE：AD，即求AE．
②要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明四邊相等即可．過D作DG⊥AB于G，通過計算得DG=CD，證得Rt△ADC≌Rt△AGD，△AED≌△AFD，∴AF=FD=AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形．
點評：本題利用了：1：勾股定理，2、等腰直角三角形的性質(zhì)，3、全等三角形的判定和性質(zhì)，4、四邊相等的四邊形是菱形．