【題目】已知拋物線經(jīng)過定點A.
(1)直接寫出A點坐標;
(2)直線y=t (t<6)與拋物線交于B,C兩點(B在C 的左邊),過點A作AD⊥BC于點D,是否存在t的值,使得對于任意的m,∠DAC=∠ABD恒成立,若存在,請求t的值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖,當m=1時,直線y=2x交對稱軸于點E,在直線OE的右側(cè)作∠EOP交拋物線于點P,使得tan∠EOP=,已知x軸上有一個點M(t,0), EM+PM是否存在最小值?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(-2,6);(2)存在,;(3)存在,
【解析】
(1)將解析式變形,得到m的系數(shù)為0,即可得出點A的坐標;
(2)設(shè)B、C的橫坐標分別為,由方程組得:,得到,,根據(jù)題意證得△ADC∽△BDA,得,即,即可求得答案;
(3)先求得點E的坐標,利用tan∠EOP=,求得,從而依次求得點G的坐標為(,)、直線OP的解析式、點P的坐標,點E關(guān)于軸的對稱點F,利用軸對稱的性質(zhì)找到點M,求得直線FP的解析式即可求解.
(1)∵拋物線,
∴當時,無論為何值,拋物線經(jīng)過定點A,
∴,,
∴定點A的坐標為(,);
(2)設(shè)直線與拋物線的交點B、C兩點的橫坐標分別為,
由方程組得:,
∴,,
∵∠DAC=∠ABD,∠ADC=∠BDA,
∴△ADC∽△BDA,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
整理得:,
解得:(舍去),
∴當t時,使得對于任意的m,∠DAC=∠ABD恒成立;
(3)當時,拋物線的解析式為,對稱軸為直線,
設(shè)對稱軸交OP于G,交軸于H,如圖:
∵直線交對稱軸于點E,
∴點E的坐標為(,),
∴OH=2,EH=4,
,
∵,
∴,
∴,
設(shè)GH=,則,
∵,即,
解得:,
∴點G的坐標為(,),
設(shè)直線OP的解析式為:,
把點G的坐標為(,)代入得:,
∴直線OP的解析式為:,
解方程組得:或,
∴點P的坐標為(,),
作點E關(guān)于軸的對稱點F,連接PF交軸于點M,此時EM+PM取得最小值,
∵點E的坐標為(,),
∴點F的坐標為(,),
設(shè)直線FP的解析式為:,
把點F、點P的坐標代入得:,
解得:,
∴直線FP的解析式為:,
令,則,
∴點M的坐標為(,),
∴當時,EM+PM存在最小值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,tan∠CAB=2,將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)后,點B落在AC的延長線上的點D,點C落在點E,DE與直線BC相交于點F,那么CF=_____.
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【題目】我市自開展“學(xué)習(xí)新思想,做好接班人”主題閱讀活動以來,受到各校的廣泛關(guān)注和同學(xué)們的積極響應(yīng),某校為了解全校學(xué)生主題閱讀的情況,隨機抽查了部分學(xué)生在某一周主題閱讀文章的篇數(shù),并制成下列統(tǒng)計圖表.
某校抽查的學(xué)生文章閱讀的篇數(shù)統(tǒng)計表
文章閱讀的篇數(shù)(篇) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7及以上 |
人數(shù)(人) | 20 | 28 | m | 16 | 12 |
請根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)求被抽查的學(xué)生人數(shù)和的值;
(2)求本次抽查的學(xué)生文章閱讀篇數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)若該校共有800名學(xué)生,根據(jù)抽查結(jié)果估計該校學(xué)生在這一周內(nèi)文章閱讀的篇數(shù)為4篇的人數(shù).
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【題目】如圖,在中,,以點為圓心,的長為半徑作,交于點,交的延長線于點.過點作,交于點,連接,,.
(1)求證:是的切線;
(2)填空:
①當四邊形是周長為20的菱形時, ;
②當 時,四邊形是正方形.
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【題目】如圖,△ABC中,∠A=30°,點O是邊AB上一點,以點O為圓心,以OB為半徑作圓,⊙O恰好與AC相切于點D,連接BD.若BD平分∠ABC,AD=2,則線段CD的長是( 。
A. 2 B. C. D.
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【題目】如圖,已知點A,C在EF上,AD∥BC,DE∥BF,AE=CF.
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)直接寫出圖中所有相等的線段(AE=CF除外).
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【題目】如圖,點A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,AB⊥y軸于點B,點C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點E在線段AC上,且AE=3EC,點D為OB的中點,若△ADE的面積為,則k的值為______.
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【題目】跳繩是大家喜聞樂見的一項體育運動,集體跳繩時,需要兩人同頻甩動繩子,當繩子甩到最高處時,其形狀可近似看作拋物線.如圖是小明和小亮甩繩子到最高處時的示意圖,兩人拿繩子的手之間的距離為,離地面的高度為,以小明的手所在位置為原點,建立平面直角坐標系.
(1)當身高為的小紅站在繩子的正下方,且距小明拿繩子手的右側(cè)處時,繩子剛好通過小紅的頭頂,求繩子所對應(yīng)的拋物線的表達式;
(2)若身高為的小麗也站在繩子的正下方.
①當小麗在距小亮拿繩子手的左側(cè)處時,繩子能碰到小麗的頭嗎?請說明理由;
③設(shè)小麗與小亮拿繩子手之間的水平距離為,為保證繩子不碰到小麗的頭頂,求的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):取3.16)
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【題目】如圖,已知點A(1,a)是反比例函數(shù)y1=的圖象上一點,直線y2=﹣與反比例函數(shù)y1=的圖象的交點為點B、D,且B(3,﹣1),求:
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點D坐標,并直接寫出y1>y2時x的取值范圍;
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