Question

【題目】探究題

【問(wèn)題情境】
如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．
（1）【探究展示】
直接寫(xiě)出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系：；
（2）【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】
（1）AM=AD+MC
（2）

AM=DE+BM成立．

證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）

①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．

證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1），

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．

②結(jié)論AM=DE+BM不成立．

證明：假設(shè)AM=DE+BM成立．

過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如圖2（2）所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．

∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立．

∴AM=DE+BM不成立

【解析】證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．