Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動(dòng)，下列結(jié)論：
①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，則OA=2 ；
②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；
③若AB平分CO，則AB⊥CO；
④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 ；
其中正確的是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=4，AC= =2 ，①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，如圖1，

∴AB是OC的垂直平分線，
則OA=AC=2 ；
所以①正確；②如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE，
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴OE=CE= AB=2，
當(dāng)OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，OC最大，
則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；
所以②正確；③如圖2，同理取AB的中點(diǎn)E，則OE=CE，

∵AB平分CO，
∴OF=CF，
∴AB⊥OC，
所以③正確；④如圖3，

斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的 ，
則： =π．
所以④不正確；
綜上所述，本題正確的有：①②③；
所以答案是：①②③．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．