Question

8．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），點P是線段AB上異于A，B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點，使△ABC的面積有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
（3）在該坐標(biāo)平面內(nèi)有點Q，△ABQ是等腰直角三角形，寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點B坐標(biāo)代入直線解析式，求出m的值，然后把A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n，n+2），點C的坐標(biāo)為（n，2n²-8n+6），表示出PC的長度，根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$•PC•（B_x-A_x）=$\frac{7}{4}$PC，構(gòu)建二次函數(shù)，然后利用配方法求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時n的值．
（3）分三種情形分別求解即可．①當(dāng)B為等腰直角三角形的直角頂點時．②當(dāng)A為等腰直角三角形的直角頂點時．③當(dāng)Q為等腰直角三角形的直角頂點時．

解答 解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∵A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\\{16a+4b+6=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=2x²-8x+6；

（2）存在．
設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n，n+2），點C的坐標(biāo)為（n，2n²-8n+6），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•PC•（B_x-A_x）=$\frac{7}{4}$PC，
∵PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∴S_△ABC=-$\frac{7}{2}$（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{343}{32}$，
∵-$\frac{7}{2}$＜0，
∴開口向下，有最大值，
∴當(dāng)n=$\frac{9}{4}$時，△ABC的面積有最大值$\frac{343}{32}$．

（3）如圖，

①當(dāng)B為等腰直角三角形的直角頂點時，Q₁（0.5，9.5），Q₂（7.5，2.5），
②當(dāng)A為等腰直角三角形的直角頂點時，Q₃（-3，6），Q₄（4，-1），
③當(dāng)Q為等腰直角三角形的直角頂點時，Q₅（4，2.5），Q₆（0.5，9.5），
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（7.5，2.5），（4，-1），（4，2.5），（0.5，9.5），（0.5，6），（-3，6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求最值等知識點，解答本題案的關(guān)鍵是根據(jù)解析式設(shè)出點P和點C的坐標(biāo)，列出PC的代數(shù)式，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．