Question

7．已知：如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E是BO的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BF，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△FBE≌△COE；
（2）將?ABCD添加一個(gè)條件，使四邊形AFBO是菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS證得兩個(gè)三角形全等即可．
（2）當(dāng)平行四邊形ABCD的對(duì)角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．

解答 （1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接EG．
∵E是BO的中點(diǎn)，
∴EG是△BFC的中位線，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF．
同理，EG=$\frac{1}{2}$OC，
∴BF=OC．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，
∴BF=OC．
又∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠COE．
在△FBE△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEC=∠BEF}&{\;}\\{∠EOC=∠EBF}&{\;}\\{OC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FBE≌△COE（AAS）；
（2）解：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形AFBO是菱形．理由如下：
∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴平行四邊形AFBO是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．涉及的知識(shí)點(diǎn)有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；矩形的對(duì)角線相等．