Question

【題目】如圖，半圓O的直徑DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圓O以2 cm/s的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D，E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)t＝0時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8 cm.

(1)當(dāng)t＝________s時(shí)，半圓O與AC所在直線第一次相切；點(diǎn)C到直線AB的距離為________．

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

【答案】（1）1，6 cm；（2）當(dāng)t為4或16時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切．

【解析】

（1）求出路程EC的長(zhǎng)，即可以求時(shí)間t=1，作C到AB的距離CF，利用直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可以得：CF=6；
（2）根據(jù)C到AB的距離為6cm，圓的半徑為6cm，所以O與C重合，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，t=8÷2=4秒.

(1)∵DE＝12 cm，

∴OE＝OD＝6 cm.

∵OC＝8 cm，

∴EC＝8－6＝2(cm)，

∴t＝2÷2＝1(s)，

故當(dāng)t＝1時(shí)，半圓O與AC所在直線第一次相切．

如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.

在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm，

∴CF＝BC＝6 cm.

故答案為1，6 cm.

(2)如圖②，當(dāng)半圓O在直線AB的左側(cè)，與直線AB相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則OM＝6 cm.

∵∠ABC＝30°，

∴OB＝2OM＝12 cm.

又∵BC＝12 cm，

∴當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，即當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8 cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝8÷2＝4.

如圖③，當(dāng)半圓O所在的圓在直線AB的右側(cè)與直線AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q，則OQ⊥AB，OQ＝6 cm.

在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，則OB＝2OQ＝12 cm，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了12＋12＋8＝32(cm)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝32÷2＝16.

綜上所述，當(dāng)t為4或16時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切．