Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線(xiàn)上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，連接AE．

①判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由；

②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線(xiàn)BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）．（2）D（4，）．（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．理由如見(jiàn)解析；②線(xiàn)段BM的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）將A（，0）和B（1，）代入拋物線(xiàn)解析式，得：

，解得：，

解析式為：

（2）當(dāng)∠BDA=∠DAC時(shí)，BD∥x軸，

∵B（1，），當(dāng)y=時(shí)，，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，），

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形

理由如下：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，

∴BE=-1=，

∵A（，0）

∴OA-BE=

∵BE∥OA

∴四邊形OAEB是平行四邊形

②∵O（0，0），B（1，），F為OB的中點(diǎn)，

∴F（，）．

過(guò)點(diǎn)F作FN⊥直線(xiàn)BD于點(diǎn)N，則FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)．

在直線(xiàn)BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：．

∵BG=BF，

∴∠BGF=∠BFG．

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF．

又∵∠MGF=∠MGF，

∴△GFB∽△GMF．

∴，即．

∴BM=．

（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線(xiàn)，

∴KF=OB=FB=．

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF．

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，

∴∠BMF=∠MFK．∴MK=KF=．

∴BM=MK+BK=+1=．

綜上所述，線(xiàn)段BM的長(zhǎng)為或．