Question

如圖1，P（m，n）是拋物線上任意一點，是過點（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點P作直線PH⊥l，垂足為H， PH交x軸于Q．

（1）【探究】

（容易題）① 填空：當m=0時，OP=　 　，PH=　 　；當m=4時，OP=　 　，PH=　 　；

（中等題）② 對任意m，n，猜想OP與PH的大小關系，并證明你的猜想．

（2）【應用】

（中等題）① 當OP=OH，且m≠0時，求P點的坐標；

（稍難題）②如圖2，已知線段AB=6，端點A，B在拋物線上滑動，求A，B兩點到直線l的距離之和的最小值．

 

Answer 1

解：（1）① 填空：當m=0時，OP=　1　，PH=　1　；當m=4時，OP=　5　，PH=　5　；

② 猜想：OP=PH．

證法一：∵P在二次函數上，∴﹣1，即.

∵，

∴，∴OP=PH．

證法二：∵P在二次函數上，∴設P（m，﹣1），

∵△OPQ為直角三角形，

∴OP

  PH=﹣（﹣2）=，

∴OP=PH．

（2）①依題意，由（1）知PH=OP，∴△OPH是等邊三角形，∠OHP=60°，

∵△OQH為直角三角形，∴∠HOQ=30°

解法一：不妨設m＞0，在Rt△OHQ中，，∴，解得 .

根據拋物線的對稱性，

∴滿足條件的點P的坐標為（，2）或（-，2）．

解法二：在Rt△OHQ中，OH=2HQ=2×2=4，

由PH=OH，∴x²+1=4，解得：x=±2，∴=×12-1=2，

∴滿足條件的點P的坐標為（，2）或（-，2）．

②如圖2，分別過點A、C作直線l的垂線，垂足分別為C、D，由（1）知OB=BD，OA=AC.

當AB不過O點時，連接OA，OB，

在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．

當AB過O點時，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．

綜上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，

即A，B兩點到直線l的距離之和的最小值為6．