Question

16、如圖所示，C為線段AE上一動點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下四個結(jié)論：①AD=BE；②AP=BQ；③DE=DP；④PQ∥AE．恒成立的有

①②④

（把你認(rèn)為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：由△ABC和△CDE都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，則∠BCD=60°，易證得△ACD≌△BCE，得到AD=BE；易證得△CAP≌△CBQ得到AP=BQ；于是有△CPQ為等邊三角形，則∠CPQ=60°，得PQ∥AE；又DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，得到DP≠DC，即DE≠DP．

解答：解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，所以①正確；
∴∠CAP=∠CBQ，
∴△CAP≌△CBQ，
∴AP=BQ，所以②正確；
∴CP=CQ，
∴△CPQ為等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴PQ∥AE，所以④正確；
∵DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，
∴DP≠DC，即DE≠DP，所以③錯誤．
故答案為①②④．

點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．