Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：△ABD∽△DCP；

（3）當(dāng)AB=5cm，AC=12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）CP=16.9cm．

【解析】（1）先判斷出∠BAC=2∠BAD，進(jìn)而判斷出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠ADB=∠P，再判斷出∠DCP=∠ABD，即可得出結(jié)論；

（3）先求出BC，再判斷出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出結(jié)論．

（1）如圖，連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP；

（3）∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，BC==13cm，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴BD=CD，

在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，

∴BD=CD=BC=，

∵△ABD∽△DCP，

∴，

∴，

∴CP=16.9cm．