Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P. 已知BC∶CA=4∶3，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．
小題1: 求證：△ABC∽△PQC；          
小題2: 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
小題3: 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)；
小題4:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

小題1:∵AB為⊙O的直徑，         ∴∠ACB =90°．
在Rt△PCQ中，∠PCQ =" ∠ACB" ="90°, " ∵∠CPQ =∠CAB，
∴△ABC ∽△PQC
小題2:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，此時(shí)CP⊥直徑AB于D，
∴CP=2CD
∵AB="10, " BC∶CA=4∶3，      ∴BC =" 8," AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，       ∴CD="4.8" ．
∴CP="2CD=9.6 " ∵△ABC ∽△PQC  
∴=   
∴CQ=12.8
小題3:因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有△ABC ∽△PQC
所以PC最大時(shí)，CQ取到最大值．
∴當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值 10時(shí)，CQ最大，最大為．
小題4:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧CP的中點(diǎn)時(shí),如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，
∵P是弧AB的中點(diǎn), ∠PCB="45°, " ∴在中，
∴CE=BE=4……7分  易證：△ABC ∽△PBE   ∴PE=3  ∴CP=7
∴CQ=7=

 略