Question

已知：△ABC中，AB=AC．
（1）如圖①，點(diǎn)O在BC邊上，且OB=OC，過O作OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，求證：OD=OE；
（2）如圖②，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且OB=OC，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，OD=OE還成立嗎？若成立請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖①，連接AO．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，
∴OD=OE；

（2）解：OD=OE仍然成立．理由如下：
如圖②，連接AO．
∵AB=AC，∴A在BC的垂直平分線上，
∵OB=OC，∴O在BC的垂直平分線上，
∵兩點(diǎn)確定一條直線，
∴AO是BC的垂直平分線，
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，
∴OD=OE．
分析：（1）連接AO，先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出OD=OE；
（2）連接AO，先由AB=AC及OB=OC得出AO是BC的垂直平分線，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO平分∠BAC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出OD=OE．
點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形及角平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO平分∠BAC是解題的關(guān)鍵．