Question

5．操作探究：已知矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E和F分別是AD和AB上一動(dòng)點(diǎn)，折疊矩形ABCD，點(diǎn)A₁為點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
（1）如圖1，沿直線EF折疊矩形ABCD，點(diǎn)A₁是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)作出△A₁EF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）如圖2，沿直線BE折疊矩形ABCD，當(dāng)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁恰好落在∠BCD的平分線上時(shí)，求CA₁的長(zhǎng)．
拓展延伸：
（3）去掉“BC=5”的條件，若沿直線BE折疊矩形后，落在∠BCD平分線上的點(diǎn)A₁有且只有一個(gè)時(shí)，求矩形的面積．
（4）把矩形ABCD沿直線EF折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁落在矩形ABCD內(nèi)（不包括邊緣部分），直接寫出DA₁的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別以A和A₁為圓心，大于AA₁長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交AD于E，交AB于F，連接A₁E和A₁F，則△A₁EF即為所求；
（2）過(guò)點(diǎn)A₁作A₁F⊥BC于F，設(shè)A₁F=CF=x，則BF=5-x，在Rt△A₁BF中，根據(jù)勾股定理得出A₁F²+BF²=A₁B²，進(jìn)而得到x²+（5-x）²=4²，求得CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，最后在在等腰Rt△A₁CF中，求得CA₁即可；
（3）過(guò)點(diǎn)B作∠BCD的平分線的垂線，當(dāng)點(diǎn)A₁落在垂足上時(shí)，點(diǎn)A₁有且只有一個(gè)，根據(jù)△A₁BC是等腰直角三角形，得到A₁B=A₁C=4，求得BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，據(jù)此求得矩形的面積；
（4）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，以及A₁B=AB=4可得，當(dāng)點(diǎn)B，A₁，D三點(diǎn)共線時(shí)，A₁D最短，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，即可得到DA₁的最小值．

解答 解：（1）如圖1所示，分別以A和A₁為圓心，大于AA₁長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交AD于E，交AB于F，連接A₁E和A₁F，則△A₁EF即為所求；


（2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A₁作A₁F⊥BC于F，

∵點(diǎn)A₁落在∠BCD的平分線上，
∴∠BCA₁=45°，
∴△A₁CF是等腰直角三角形，
設(shè)A₁F=CF=x，則BF=5-x，
由折疊可得，A₁B=AB=4，
∴Rt△A₁BF中，A₁F²+BF²=A₁B²，
即x²+（5-x）²=4²，
解得x₁=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
即CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
∴在等腰Rt△A₁CF中，CA₁=$\sqrt{2}$CF=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{14}}{2}$或$\frac{5}{2}\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$；

（3）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作∠BCD的平分線的垂線，當(dāng)點(diǎn)A₁落在垂足上時(shí)，點(diǎn)A₁有且只有一個(gè)，

此時(shí)，△A₁BC是等腰直角三角形，
∴A₁B=A₁C=4，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴矩形的面積=4×4$\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$；

（4）如圖4所示，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，以及A₁B=AB=4可得，
當(dāng)點(diǎn)B，A₁，D三點(diǎn)共線時(shí)，A₁D最短，

此時(shí)，Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴A₁D=$\sqrt{41}$-4，
即DA₁的最小值為$\sqrt{41}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解題時(shí)注意：設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求出答案．