Question

如圖，已知⊙O的半徑為3，A是⊙O外一點(diǎn)，AB切⊙O于點(diǎn)B，切線段AB=6．
（1）利用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線CD交AB與點(diǎn)C，試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由（保留作圖痕跡）；
（2）在⊙O上找出能與點(diǎn)A、B構(gòu)成等腰三角形的所有的點(diǎn)P（在圖中直接畫出點(diǎn)P的位置即可，保留畫圖痕跡）．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：

結(jié)論：直線CD與⊙O相切；
證明：如圖2，連接OB，作OE⊥CD于點(diǎn)E，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠OBC=∠ECB=90°，
∴四邊形OBCE為矩形，
∵AB=6，CD垂直平分線的AB，
∴OB=BC=3，
∴四邊形OBCE是正方形，
∴OE=OB
∴直線CD是⊙O的切線．
（2）當(dāng)AB為底邊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，即P₁；
當(dāng)AB為腰且A為頂點(diǎn)時(shí)，以A為圓心，以AB的長為半徑作圓與⊙O交于點(diǎn)P₂；
當(dāng)AB為腰且B為頂點(diǎn)時(shí)，以B為圓心，以AB的長為半徑作圓與⊙O交于點(diǎn)P₃和P₄；
分析：（1）作出線段AB的垂直平分線CD后連接OB，作OE⊥CD于點(diǎn)E，證明四邊形OBCE為正方形后即可證得結(jié)論；
（2）分以AB為底邊、AB為腰A為頂點(diǎn)和AB為腰B為頂點(diǎn)三種情況討論即可求得所有點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查了尺規(guī)作圖、等腰三角形及圓的綜合知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，特別是確定點(diǎn)P的位置是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．