設(shè)p，q均為自然數(shù)，且
p
q
=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+
1
5
-…-
1
18
+
1
19
，求證：29|p．
分析：此題的關(guān)鍵是把已知條件進(jìn)行變形，變成（1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
19
）-2（
1
2
+
1
4
+…+
1
18
），再進(jìn)行分解，利用質(zhì)數(shù)的定義得出．
解答：證明：注意到29是質(zhì)數(shù)．令a=10×11××19．
p
q
=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+
1
5
-…-
1
18
+
1
19
，
=（1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
19
）-2（
1
2
+
1
4
+…+
1
18
），
=（
1
2
+
1
3
+…+
1
19
）-（1+
1
2
+…+
1
9
），
=
1
10
+
1
11
+…+
1
19
，
=（
1
10
+
1
19
）+（
1
11
+
1
18
）+…+（
1
14
+
1
15
），
=29（
1
19×10
+
1
11×18
+…+
1
14×15
），
∴ap=29q•b，
其中b=a（
1
10×19
+
1
11×18
+…+
1
14×15
）是整數(shù)，
∵29|a•p，29是質(zhì)數(shù)，29|a．
∴29|p．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)的整除性的性質(zhì)，做題時(shí)注意變形的應(yīng)用，題目難度較大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)p，q均為自然數(shù)，且
7
10
＜
p
q
＜
11
15
，當(dāng)q最小時(shí)求pq的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a，b均為自然數(shù)，且3a＞b，若a除以5余1，b除以5余4，則（3a-b）除以5的余數(shù)是
4
4
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)p，q均為自然數(shù)，且
p
q
=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+
1
5
-…-
1
18
+
1
19
，求證：29|p．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年上海市蘭生復(fù)旦中學(xué)理科班教程：分解質(zhì)因數(shù)（解析版） 題型：解答題

設(shè)p，q均為自然數(shù)，且，求證：29|p．

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