Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且經(jīng)過(guò)直線y=x-2與x軸的交點(diǎn)B及與y軸的交點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且tan∠MOC=1，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形OBMC面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2；（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；（3）M（，-），四邊形OBMC的面積為2．

【解析】

（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B（2，0），C（0，2），然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式；

（2）把（1）的解析式配成頂點(diǎn)式得y＝ ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由于△OBC為等腰直角三角形，而OM⊥BC，則OM的解析式為，可設(shè)，把它代入二次函數(shù)解析式得，解得 ．則M點(diǎn)坐標(biāo)為 ，然后計(jì)算出OM＝2，BC＝ ，再利用三角形面積公式計(jì)算四邊形OBMC的面積．

解：（1）直線y=x-2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx+c中，得

解得

∴所求拋物線的解析式是y=x2-x-2；

（2）∵y=x2-x-2=，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；

（3）∵點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且tan∠MOC=1，

∴設(shè)M（x，-x），

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，∴x2-x-2=-x．

解得x1=，x2=，

因點(diǎn)M在第四象限，取x=，∴M（，-），

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∵∠COM=45°，

∴∠ODC=90°，

即OM⊥BC，

得OM=2，BC=2，

∴四邊形OBMC的面積為OMBC=2．