Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C及拋物線上的另一點(diǎn)D，∠ABC=60度．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含有字母c的式子表示）；
（2）如果四邊形ABCD的面積為

3

，求拋物線的解析式；
（3）如果當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取圓心為M，根據(jù)拋物線和圓都是軸對稱圖形，可證明△BCM、△ADM、△CDM都是等邊三角形，其中OC是△BCM的高，解直角三角形可得BC長，即為圓的半徑，從而可表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）可得AB=

4 3

3

c，CD=

2 3

3

c，OC=c，根據(jù)梯形面積公式求c，可得A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，聯(lián)想對稱軸x=-

b

2a

=

3

3

c≤1，易得c≤

3

，又拋物線交y軸于正半軸，∴0＜c≤

3

．

解答：解：（1）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，連接CM、DM，由∠ABC=60°，MC=MB，
∴△BCM為等邊三角形，
∴由拋物線的對稱性可知△ADM也是等邊三角形，
又∵M(jìn)C=MC，∠CMD=180°-60°-60°=60°，
∴△CDM也是等邊三角形，
故BC=CD=AD=

1

2

AB，
解Rt△BOC得OB=

3

3

OC=

3

3

c，BC=2OB=

2 3

3

c，
故A（

3

c，0），B（-

3

3

c，0）；

（2）當(dāng)S_{四邊形ABCD}=

3

時(shí)，

1

2

×（

2 3

3

c+

4 3

3

c）×c=

3

，
解得c=1，
∴A（

3

，0），B（-

3

3

，0），C（0，1），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-

3

）（x+

3

3

），
把A（0，1）代入得a=-1，
∴y=-（x-

3

）（x+

3

3

），
即y=-x²+

2 3

3

x+1；

（3）如果當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，
則對稱軸x=-

b

2a

=

3

3

c≤1，c≤

3

，
又∵拋物線交y軸于正半軸，
∴0＜c≤

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓與拋物線的綜合運(yùn)用，要求會(huì)用對稱性，特殊三角形解答本題，也要熟練掌握解直角三角形的知識．