Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)y＝kx的圖象交點(diǎn)為C（3，4）．
（1）求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)E使△BCE周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)
（4）在x軸上求一點(diǎn)P使△POC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函數(shù)y＝k1x＋b過(guò)點(diǎn)A（－3，0）; C（3，4）

∴ 解得：

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y＝ x＋2

∵正比例函數(shù)y＝kx的圖象過(guò)點(diǎn)為C（3，4）

∴4=-3k2

∴k2= 正比例函數(shù):y＝ x

（2）解：如圖所示，作D1M⊥X軸于M點(diǎn)，作D2N⊥Y軸于N，在等腰△AD1B中，

A D1=AB ; ∠D1AB=90° ∠D1DA=∠AOB=90°

∴∠D1AM+∠BAO=90° 又∵∠ABO+∠BAO=90°

∴∠D1AM =∠BAO

在△D1DA與△ OAB中

∠D1AM =∠BAO（已證）

∠D1MA=∠AOB（已證）

A D1=AB （已證）

∴△D1MA≌△OAB（AAS）

∴D1 M=OA=3;AM=BO=2 ∴OM=5

∵D1在第二象限，∴D1(-5,3)

同理證：△D2NB≌△BOA（AAS） ∴D2(-2,5)

（3）解：存在;作C關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)C1，連接BC1，交X軸于E，此時(shí)△BCE周長(zhǎng)最小。

∵ ∴

∴BC1的解析式為：y=-2x+2

令y=0，得0=-2x+2, x=1

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）

（4）解：P （5，0）

P （-5，0）

P (6, 0)

P ( ,0)

【解析】（4）①當(dāng)OC是腰，O是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，OP=OC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）；
②當(dāng)OC是腰，C是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，CP=CP，則點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于x=3對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；
③當(dāng)OC是底邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），則（a-3）2+42=a2，解得a=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）.
綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，以及對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解，了解一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．