Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是AC上一點，連接BE．
（1）如圖1，若AB=4 ，BE=5，求AE的長；
（2）如圖2，點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連接CD、CF，當AF=DF時，求證：DC=BC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴AC=BC= AB=4，

∵BE=5，

∴CE= =3，

∴AE=4﹣3=1；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F(xiàn)，C，B四點共圓，

∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°，

在△ACF與△DCF中， ，

∴△ACF≌△DCF，

∴CD=AC，

∵AC=BC，

∴AC=BC．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC= AB=4，根據(jù)勾股定理得到CE= =3，于是得到結論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F(xiàn)，C，B四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．