【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線與軸交于、,與軸交于點,拋物線頂點為,直線交軸于點.
(1)求拋物線函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點是位于直線下方拋物線上的一動點,以、為相鄰的兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時,求此時平行四邊形的面積及點的坐標(biāo);
(3)在線段上是否存在點,使得?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)平行四邊形PBFD的面積S為2,P(2,-3);(3)存在.點G的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)先設(shè)拋物線的頂點式,然后利用待定系數(shù)法,即可求出解析式;
(2)根據(jù)題意,先求出BD的解析式,當(dāng)PF的值最大時,面積取到最大值,即可得到答案;
(3)先證明,設(shè)點G的坐標(biāo)為,利用三角函數(shù)值,求出t的值,即可得到點G的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)拋物線為
把A(1,0),C(0,3)代入得
得:,
,
即;
(2)設(shè)直線BD為y=kx+b,如圖,過點P作PF⊥x軸交直線BD于F,
將點(1,4)、(3,0)代入y=kx+b中,
解得,k=2,b=6,
∴BD解析式為y=2x-6,
設(shè)點P(a,a2-2a-3),則F(a,2a-6),
則PF=2a-6-(a2-2a-3)
=-a2+4a-3
當(dāng)a=2時,PF有最大長度1,
∴S△PBD最大=S△PBF+S△PDF
=PF2=1
∴以PB、PD為相鄰的兩邊作平行四邊形PBFD,當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時,
S最大=2S△PBD最大=2×1=2,
∴P(2,-3);
(3)存在.如圖2,
由B(3,0),C(0,-3),D(1,-4)可知,
BC=,CD=,BD=,
∵,即,
∴,
∴,
∵點G在線段BD上,所以設(shè)點G的坐標(biāo)為,
過點G作GH⊥y軸于點H,當(dāng)tan∠GCH=3時,∠BDC=∠GCE,
解得:
∴,
∴點G的坐標(biāo)為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AB=4,C為半圓AB的中點,P為上一動點,延長BP至點Q,使BPBQ=AB2.若點P由A運動到C,則點Q運動的路徑長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為積極響應(yīng)政府提出的“綠色發(fā)展·低碳出行”號召,某社區(qū)決定購置一批共享單車,經(jīng)市場調(diào)查得知,購買3量男式單車與4輛女式單車費用相同,購買5輛男式單車與4輛女式單車共需16000元.
(1)求男式單車和女式單車的單價;
(2)該社區(qū)要求男式單比女式單車多4輛,兩種單車至少需要22輛,購置兩種單車的費用不超過50000元,該社區(qū)有幾種購置方案?怎樣購置才能使所需總費用最低,最低費用是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步提升教育教學(xué)質(zhì)量,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,某校在七年級學(xué)生中開展了對語文、數(shù)學(xué)、英語、歷史、地理這五門課程的興趣愛好情況的調(diào)查,以便采取必要教學(xué)改革,激發(fā)學(xué)生對各學(xué)科的興趣愛好.隨機(jī)選取該年級部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,要求每名學(xué)生從中選出一門最感興趣的課程(每名學(xué)生只能選一門,不能多選),以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整統(tǒng)計圖表:
課程代號 | |||||
課程名稱 | 語文 | |數(shù)學(xué) | 英語 | 歷史 | 地理 |
最感興趣人數(shù) | 12 | 30 | 54 | 9 |
請你根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為______人,______,______;
(2)被調(diào)查學(xué)生中,最喜愛課程的“眾數(shù)”是______;
(3)若該年級共有800名學(xué)生,請估計該年級對語文最感興趣的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形中,分別以,所在直線為軸,軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.是邊上一個動點(不與,重合),過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點,已知,,將沿折疊,點恰好落在邊上的點處,則________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)嘗試探究
如圖①,在中,,,點,分別是邊上的點,且.
①的值為________;
②直線與直線的位置關(guān)系為________;
(2)類比延伸
如圖②,若將圖①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn),連接,則在旋轉(zhuǎn)的過程中,請判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展運用
若,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)三點在同一直線上時,請直接寫出此時線段的長.
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【題目】如圖,鈍角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是邊AB上一點,以O為圓心,OB為半徑作⊙O,交邊AB于點D,交邊BC于點E,過E作⊙O的切線交邊AC于點F.
(1)求證:EF⊥AC.
(2)連結(jié)DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市少年宮為小學(xué)生開設(shè)了繪畫、音樂、舞蹈和跆拳道四類興趣班,為了解學(xué)生對這四類興趣班的喜愛情況,對學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如圖所示),將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了一幅不完整的統(tǒng)計表
最受歡迎興趣班調(diào)查問卷 | 統(tǒng)計表 | |||||
選項 | 興趣班 | 請選擇 | 興趣班 | 頻數(shù) | 頻率 | |
A | 繪畫 | A | 0.35 | |||
B | 音樂 | B | 18 | 0.30 | ||
C | 舞蹈 | C | 15 | |||
D | 跆拳道 | D | 6 | |||
你好!請選擇一個(只能選一個)你最喜歡的興趣班,在其后空格內(nèi)打“√”,謝謝你的合作. | 1 | |||||
請你根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的 , ;
(2)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計該市2000名小學(xué)生中最喜歡“繪畫”興趣的人數(shù);
(3)王姝和李要選擇參加興趣班,若他們每人從A、B、C、D四類興趣班中隨機(jī)選取一類,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩人恰好選中同一類的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明站在江邊某瞭望臺DE的頂端D處,測得江面上的漁船A的俯角為40°.若瞭望臺DE垂直于江面,它的高度為3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長BC=10米.
(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,cot40°≈1.19)
(1)求瞭望臺DE的頂端D到江面AB的距離;
(2)求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.(結(jié)果保留一位小數(shù))
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