Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)是位于直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以、為相鄰的兩邊作平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）平行四邊形PBFD的面積S為2，P（2，-3）；（3）存在．點(diǎn)G的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）根據(jù)題意，先求出BD的解析式，當(dāng)PF的值最大時(shí)，面積取到最大值，即可得到答案；

（3）先證明，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，利用三角函數(shù)值，求出t的值，即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線為

把A（1，0），C（0，3）代入得

得：，

，

即；

（2）設(shè)直線BD為y＝kx+b，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸交直線BD于F，

將點(diǎn)（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，

解得，k＝2，b＝6，

∴BD解析式為y＝2x-6，

設(shè)點(diǎn)P（a，a2-2a-3），則F（a，2a-6），

則PF＝2a-6-（a2-2a-3）

＝-a2+4a-3

當(dāng)a＝2時(shí)，PF有最大長度1，

∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF

＝PF2=1

∴以PB、PD為相鄰的兩邊作平行四邊形PBFD，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，

S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，

∴P（2，-3）；

（3）存在．如圖2，

由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，

BC=，CD=，BD=，

∵，即，

∴，

∴，

∵點(diǎn)G在線段BD上，所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)G作GH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)tan∠GCH=3時(shí)，∠BDC=∠GCE，

解得：

∴，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：．