Question

【題目】如圖，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF是⊙O的切線，D為切點，交CB的延長線于點E．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠CBG=．

【解析】（1）連接OC，CD，根據圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三線合一的性質得：D為AB的中點，所以OD是中位線，由三角形中位線性質得：OD∥AC，根據切線的性質可得結論；
（2）如圖，連接BG，先證明EF∥BG，則∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．

（1）證明：如圖，連接OC，CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線

∴OD∥AC，

∵DF為⊙O的切線，

∴OD⊥DF，

∴DF⊥AC；

（2）解：如圖，連接BG，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BGC=90°，

∵∠EFC=90°=∠BGC，

∴EF∥BG，

∴∠CBG=∠E，

Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，

∴CD=4，

S△ABC=，

6×4=5BG，

BG=，

由勾股定理得：CG=，

∴tan∠CBG=tan∠E=.