Question

【題目】已知：如圖,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以點(diǎn)O為原點(diǎn),斜邊OA所在直線(xiàn)為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,以點(diǎn)P(4,0)為圓心,PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,⊙P與x軸的另一交點(diǎn)為N,點(diǎn)M在⊙P上,且滿(mǎn)足∠MPN=60°.⊙P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，解答下列問(wèn)題：

(1)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)點(diǎn)A在⊙P內(nèi)時(shí)，t的取值范圍是 ；

(2)當(dāng)⊙P和△ABO的邊相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)弧MN與Rt△ABO的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0<t<2；（2）（1,0）（，0）；（3）2＜t≤3，4≤t＜5.

【解析】

（1）根據(jù)題意，當(dāng)2<OP<4時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)，從而求t的取值范圍；

（2）分圓和直線(xiàn)AB和直線(xiàn)OB相切，利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

（3）先找出和直角三角形的兩邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的分界點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵OA=3，P(4,0)

∴OP=4，AP=1

又∵⊙P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)

∴當(dāng)2<OP<4時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，

∴OP=4-t

∴2<4-t<4

解得：0<t<2；

（2）①如圖2，當(dāng)⊙P與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)C時(shí)

連接PC，則有PC⊥AB，PC=r=1，

∵∠OAB=30°，

∴AP=2，

∴OP=OA-AP=3-2=1；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；

②如圖3，當(dāng)⊙P與直線(xiàn)OB相切于點(diǎn)D時(shí)，

連接PD，則有PD⊥OB，PD=r=1，

∴PD∥AB，

∴∠OPD=∠OAB=30°，

∴cos∠OPD= ，

∴OP= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；；

（3） t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，

理由：如圖5，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，

與Rt△ABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)t=2；

當(dāng)t＞2，直到⊙P運(yùn)動(dòng)到與AB相切時(shí)，

由探究①得，OP=1，

∴，

與Rt△ABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴2＜t≤3．

如圖6，當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到PM與OB重合時(shí)，

與Rt△ABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)t=4；

直到⊙P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，

與Rt△ABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)t=5；

∴4≤t＜5，

即：t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，