如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的直線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，且RP=RQ
（1）求證：直線QR是⊙O的切線；
（2）若OP=PA=1，試求RQ的長(zhǎng)．

【答案】分析：（1）要證明直線QR是⊙O的切線，證明OQ⊥RQ即可；
（2）在Rt△OQR中，根據(jù)勾股定理解直角三角形即可求出RQ的長(zhǎng)．
解答：證明：（1）連接OQ；

∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，即OQ⊥QR，
直線QR是⊙O的切線．

（2）設(shè)AR的長(zhǎng)為x，則PR=RQ=x+1；
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
則（x+2）2=（x+1）2+22，
解之得，x=，
∴QR=x+1=．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握切線的判定，會(huì)運(yùn)用勾股定理求解一些簡(jiǎn)單的直角三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的⊙O的切線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．
（Ⅰ）求證：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，試求PQ的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上，且RP=RQ．
（1）求證：RQ是⊙O的切線；
（2）求證：OB2=PB•PQ+OP2；
（3）當(dāng)RA≤OA時(shí)，試確定∠B的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q，過Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R．求證：RP=RQ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①，OA和OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是OA上的任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于D，PD的垂直平分線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若P是OA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，CD還是⊙O的切線嗎？如果是，在備用圖②中作出相應(yīng)圖形（請(qǐng)保留作圖痕跡），并論證．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的直線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，且RP=RQ
求證：直線QR是⊙O的切線．

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