Question

已知：如圖，⊙O中，直徑AB=5，在它的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，BC：CA=4：3，點(diǎn)P在

AB

上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A、B重合），CP交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）如果點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，根據(jù)垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據(jù)△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長(zhǎng)；
（2）如果CQ去最大值，那么PC也應(yīng)該取最大值，因此當(dāng)PC是圓O的直徑時(shí)，CQ才取最大值．此時(shí)PC為5，可根據(jù)上面得出的PC、CQ的比例關(guān)系求出CQ的長(zhǎng)．即可得出PC的值，進(jìn)而可通過相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長(zhǎng)．

解答：解：（l）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；

（2）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

PC•BC

AC

．
∴當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ的值最大，
而當(dāng)PC為圓的直徑時(shí)，PC的值最大，最大為5，此時(shí)CQ=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于常規(guī)的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正切的概念求解．解第2小問時(shí)要有動(dòng)態(tài)的思想（在草稿上畫畫圖）不難猜想出結(jié)論．