Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（0，3），C（1，0）．

（1）求拋物線及直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）有兩動點D、E同時從O出發(fā)，以每秒1個單位長度的相同的速度分別沿線段OA、OB向A、B做勻速運動，過D作PD⊥OA分別交拋物線和直線AB于P、Q，設運動時間為t（0＜t＜3）．

①求線段PQ的長度的最大值；

②連接PE，當t為何值時，四邊形DOEP是正方形；

③連接DE，在運動過程中，是否存在這樣的t值，使PE=DE？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；y=x+3；（2）①當t=1時，PQ的長度有最大值，最大值為4；②當t為時，四邊形DOEP是正方形；③存在．當t=時，PE=DE

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線上的三個點的坐標和直線上兩個點的坐標，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線和直線的解析式；（2）①用t表示出線段PQ的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②OE=OD=PD時，四邊形四邊形DOEP是正方形，由此列出方程求解即可；③存作EH⊥PD， 可得PD=2OE，由此列出方程解得t值即可.

試題解析：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

把B（0，3）代入得a3（﹣1）=3，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1），

即y=﹣x2﹣2x+3；

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣3，0），B（0，3）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=x+3；

（2）①∵D（﹣t，0），PD⊥x軸，

∴P（﹣t，﹣t2+2t+3），Q(-t，-t+3)

∴PQ=﹣t2+2t+3-（-t+3）=﹣t2+3t，

∴當t=時，PQ的長度有最大值，最大值為；

②OE=OD=t，

∵PD∥OE，

∴PD=OE時，四邊形DOEP為平行四邊形，

而OE=OD，∠DOE=90°，

∴此時四邊形DOEP是正方形

即﹣t2+2t+3=t，解得t1=，t2= （舍去），

∴當t=為時，四邊形DOEP是正方形；

③存在．

作EH⊥PD，如圖，

∵DE=PE，

∴PH=DH，

∴PD=2OE，

即﹣t2+2t+3=2t，解得t1=，t2=﹣（舍去），

∴當t=時，PE=DE．