【題目】如圖,已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,其中A點坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點C,點D(﹣2,﹣3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出PA+PD的最小值;

(3)若拋物線上有一動點M,使△ABM的面積等于△ABC的面積,求M點坐標(biāo).

(4)拋物線的對稱軸上是否存在動點Q,使得△BCQ為等腰三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2);(3)M的坐標(biāo)為(﹣1﹣,3),(﹣1+,3),(﹣2,﹣3);(4)存在;Q的坐標(biāo)為(﹣1,),(﹣1,﹣),(﹣1,0),(﹣1,﹣6),(﹣1,﹣1).

【解析】

(1)由點A,D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;

(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點B的坐標(biāo),連接BD,交拋物線的對稱軸于點P,由拋物線的對稱性及兩點之間線段最短可得出此時PA+PD取最小值,最小值為線段BD的長度,再由點B,D的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式可求出PA+PD的最小值;

(3)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo),設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,x2+2x-3),由ABM的面積等于ABC的面積可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之即可求出點M的坐標(biāo);

(4)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(-1,m),結(jié)合點B,C的坐標(biāo)可得出CQ2,BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CBQB=QC三種情況,找出關(guān)于m的一元二次(或一元一次)方程,解之即可得出點Q的坐標(biāo).

解:(1)將A(﹣3,0),D(﹣2,﹣3)代入y=x2+bx+c,得:

,解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x﹣3.

(2)當(dāng)y=0時,x2+2x﹣3=0,

解得:x1=﹣3,x2=1,

∴點B的坐標(biāo)為(1,0).

連接BD,交拋物線的對稱軸于點P,如圖1所示.

PA=PB,

∴此時PA+PD取最小值,最小值為線段BD的長度.

∵點B的坐標(biāo)為(1,0),點D的坐標(biāo)為(﹣2,﹣3),

BD==3,

PA+PD的最小值為3

(3)當(dāng)x=0時,y=x2+2x﹣3=﹣3,

∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣3).

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3).

SABM=SABC,

|x2+2x﹣3|=3,即x2+2x﹣6=0x2+2x=0,

解得:x1=﹣1﹣,x2=﹣1+,x3=﹣2,x4=0(舍去),

∴點M的坐標(biāo)為(﹣1﹣,3),(﹣1+,3),(﹣2,﹣3).

(4)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(﹣1,m).

∵點B的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(0,﹣3),

CQ2=(﹣1﹣0)2+[m﹣(﹣3)]2=m2+6m+10,BQ2=(﹣1﹣1)2+(m﹣0)2=m2+4,BC2=(0﹣1)2+(﹣3﹣0)2=10.

分三種情況考慮(如圖2所示):

①當(dāng)BQ=BC時,m2+4=10,

解得:m1,m2=﹣,

∴點Q1的坐標(biāo)為(﹣1,),點Q2的坐標(biāo)為(﹣1,﹣);

②當(dāng)CQ=CB時,m2+6m+10=10,

解得:m3=0,m4=﹣6,

∴點Q3的坐標(biāo)為(﹣1,0),點Q4的坐標(biāo)為(﹣1,﹣6);

③當(dāng)QB=QC時,m2+4=m2+6m+10,

解得:m5=﹣1,

∴點Q5的坐標(biāo)為(﹣1,﹣1).

綜上所述:拋物線的對稱軸上存在動點Q,使得BCQ為等腰三角形,點Q的坐標(biāo)為(﹣1,),(﹣1,﹣),(﹣1,0),(﹣1,﹣6),(﹣1,﹣1).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我們把經(jīng)過原點,頂點落在同一拋物線C上的所有拋物線稱為拋物線C的派生拋物線.

(1)若y1=﹣x2+4x是拋物線C:y=ax2+2的派生拋物線,求a的值.

(2)證明:經(jīng)過原點的拋物線y=﹣mx2+2mx+m﹣2是拋物線C:y=x2+的派生拋物線;

(3)如圖,拋物線y1,y2,y3,y4…yn都是拋物線C:y=x2﹣2x+2的派生拋物線,其頂點A1,A2,A3,A4…An的橫坐標(biāo)分別是1、2、3、4…n,它們與x軸的另一個交點分別是B1,B2,B3,B4…Bn,與原點O構(gòu)成的三角形分別為△OA1B1,△OA2B2,△OA3B3,△OA4B4…△OAnBn

請用含n的代數(shù)式表示拋物線yn的函數(shù)表達(dá)式;

在這些三角形中,是否存在兩個相似的三角形,若存在,請直接寫出它們所對應(yīng)的兩個函數(shù)的表達(dá)式,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A4,0),B0,﹣4),C2,﹣4)三點

1)求這個函數(shù)的解析式;

2)求函數(shù)圖頂點的坐標(biāo);

3)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點圍成的三角形的面積

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以墻(長度不限)為一邊,再用長為13m的鐵絲為另外三邊,圍成面積為20的長方形.已知長大于寬,則長方形的長、寬分別是( )

A. 5m,4m或9m,2 m B. 9m,2m C. 10m,1.5m D. 8m,2.5m或5m,4m

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程:x2﹣2m+1x+m2+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍;

(2)若原方程的兩個實數(shù)根為x1、x2, 且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為評估學(xué)生整理錯題集的質(zhì)量情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,把學(xué)生整理錯題集的質(zhì)量分為非常好”、“較好”、“一般”、“不好四個等級,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:

(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了   名學(xué)生;

(2)扇形統(tǒng)計圖中,m=   ,“非常好部分所在扇形的圓心角度數(shù)為   ;

(3)補全條形統(tǒng)計圖;

(4)如果4名學(xué)生整理錯題集的質(zhì)量情況是:3較好”,1一般,現(xiàn)從中隨機抽取2人,請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩人都是較好的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖為某種材料溫度y(℃)隨時間xmin)變化的函數(shù)圖象.已知該材料初始溫度為15℃,溫度上升階段y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系,且在第5分鐘溫度達(dá)到最大值60℃后開始下降;溫度下降階段,溫度y與時間x成反比例關(guān)系.

(1)分別求該材料溫度上升和下降階段,yx間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)根據(jù)工藝要求,當(dāng)材料的溫度高于30℃時,可以進(jìn)行產(chǎn)品加工,問可加工多長時間?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,AB⊙O的直徑,點C、D⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°

1)求BD的長;

2)求圖中陰影部分的面積.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線Myax2+bx+ca≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),且頂點坐標(biāo)為B(0,1).

(1)求拋物線M的函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)Ft,0)為x軸正半軸上一點,將拋物線M繞點F旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M1

拋物線M1的頂點B1的坐標(biāo)為   

當(dāng)拋物線M1與線段AB有公共點時,結(jié)合函數(shù)的圖象,求t的取值范圍.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹