Question

【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c（b，c均是常數）經過點O（0，0），A（4，4），與x軸的另一交點為點B，且拋物線對稱軸與線段OA交于點P．

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）過點P作x軸的平行線l，若點Q是直線上的動點，連接QB．

①若點O關于直線QB的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，求點Q的坐標；

②若點O關于直線QB的對稱點為點D，當線段AD的長最短時，求點Q的坐標（直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣）2+；（，）；（2）①（﹣，）或（，）；②（0，）；

【解析】

1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐標代入

y=﹣x2+bx+c,轉化為解方程組即可.

(2)先求出直線OA的解析式,點B坐標,拋物線的對稱軸即可解決問題.

(3)①如圖1中,點O關于直線BQ的對稱點為點C,當點C恰好在直線l上時,首先證明四邊形BOQC是菱形,設Q（m，）,根據OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解決問題.

②如圖2中,由題意點D在以B為圓心5為半徑的OB上運動,當A,D、B共線時,線段AD最小,設OD與BQ交于點H.先求出D、H兩點坐標,再求出直線BH的解析式即可解決問題.

（1）把O（0，0），A（4，4）的坐標代入y=﹣x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+．

所以拋物線的頂點坐標為（，）；

（2）①由題意B（5，0），A（4，4），

∴直線OA的解析式為y=x，AB==7，

∵拋物線的對稱軸x=，

∴P（，）．

如圖1中，點O關于直線BQ的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，

∵QC∥OB，

∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，

∴CQ=BC=OB=5，

∴四邊形BOQC是平行四邊形，

∵BO=BC，

∴四邊形BOQC是菱形，

設Q（m，），

∴OQ=OB=5，

∴m2+（）2=52，

∴m=±，

∴點Q坐標為（﹣，）或（，）；

②如圖2中，由題意點D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運動，當A、D、B共線時，線段AD最小，設OD與BQ交于點H．

∵AB=7，BD=5，

∴AD=2，D（，），

∵OH=HD，

∴H（，），

∴直線BH的解析式為y=﹣x+，

當y=時，x=0，

∴Q（0，）．