Question

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為8，
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)y=

k

x

解析式；
（3）求等邊△AFE的邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義求出BG的長(zhǎng)，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直接把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

即可得出k的值，故可得出其解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)AH=a（a＞0）．在Rt△DAH中，根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D在第一象限，可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

4 3

x

的圖象上，可以把把x=8+a，y=

3

a代入反比例函數(shù)解析式求出a的值，再根據(jù)點(diǎn)D是AE中點(diǎn)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵等邊△OAB的邊長(zhǎng)為8，
∴OA=OB=8，
∴OG=

1

2

-A=4，BG=OB•sin60°=8×

3

2

=4

3

，
∴B（4，4

3

），
∵點(diǎn)C是OB邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2

3

）；

（2）∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，
∴把x=2，y=2

3

代入反比例函數(shù)解析式，解得k=4

3

．
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4 3

x

；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF，垂足為點(diǎn)H．
解法一：設(shè)AH=a（a＞0）．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH=

3

a．
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8+a，

3

a）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

4 3

x

的圖象上，
∴把x=8+a，y=

3

a代入反比例函數(shù)解析式，
解得 a=2

5

-4 （a=-2

5

-4＜0不符題意，舍去）．
∵點(diǎn)D是AE中點(diǎn)，
∴等邊△AFE的邊長(zhǎng)為8

5

-16；
解法二：∵點(diǎn)D在第一象限，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，

4 3

m

）（m＞0）．
∴AH=m-8，DH=

4 3

m

．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2（m-8），
由勾股定理得：DH=

3

（m-8）．
所以

4 3

m

=

3

（m-8），
解得：m=2

5

+4．
∴AH=2

5

-4，
∵點(diǎn)D是AE中點(diǎn)，
∴等邊△AFE的邊長(zhǎng)為8

5

-16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．