Question

（2012•寧波一模）如圖1，P是銳角△ABC所在平面上一點(diǎn)．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P就叫做△ABC費(fèi)馬點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離為

2

3

3

．
（2）若點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∠ABC=60°，PA=2，PC=3，則PB的值為

6

．
（3）如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連接BB′．求證：BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AP，交BC于D，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD⊥BC，BD=CD=2，∠BPC=30°，利用30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出PD的長(zhǎng)，即費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離；
（2）由題意可得△ABP∽△BCP，所以PB²=PA•PC，即PB=

6

；
（3）在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．由此可以證明△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'為正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論．

解答：（1）解：延長(zhǎng)AP，交BC于D，
∵AB=AC=BC，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
∴P為三角形的內(nèi)心，
∴AD⊥BC，BD=CD=2，∠PBD=30°，
∴BP=

2

cos30°

=

4 3

3

，
∴AP=BP=

4 3

3

，
∵AD=

AB2-BD2

=2

3

，
∴PD=AD-AP=2

3

-

4 3

3

=

2

3

3

，
故答案為：

2

3

3

．

（2）解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴

PA

PB

=

PB

PC

，
∴PB²=PA•PC，即PB=

2×3

=

6

，
故答案為：

6

．

（3）證明：在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°
連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE．
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE為正三角形．
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB’=120°
∵△ACB′為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′CE=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
∴BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)；此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．