Question

【題目】如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點A'落在∠ACB的外角平分線CD上，連結(jié)AA'．

（1）判斷四邊形ACC'A'的形狀，并說明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，求CB'的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：四邊形ACC'A'是菱形．理由如下：

由平移的性質(zhì)得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，

則四邊形ACC'A'是平行四邊形．

∴∠ACC′=∠AA′C′，

又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，

∴CD也平分∠AA′C′，

∴四邊形ACC'A'是菱形．

（2）

解：∵在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，

∴cos∠BAC= = ，即 = ，

∴AC=26．

∴由勾股定理知：BC= = =7 ．

又由（1）知，四邊形ACC'A'是菱形，

∴AC=AA′=26．

由平移的性質(zhì)得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，則四邊形ABB′A′是平行四邊形，

∴AA′=BB′=26，

∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7 ．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC'A'是平行四邊形．又對角線平分對角的平行四邊形是菱形推知四邊形ACC'A'是菱形．（2）通過解直角△ABC得到AC、BC的長度，由（1）中菱形ACC'A'的性質(zhì)推知AC=AA′，由平移的性質(zhì)得到四邊形ABB′A′是平行四邊形，則AA′=BB′，所以CB′=BB′﹣BC．
【考點精析】通過靈活運用平移的性質(zhì)和解直角三角形，掌握①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．