Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連結(jié)AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF；②∠AEF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤△CEF為等腰直角三角形，其中正確的有（填序號）．

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形， ∴AB=AD，AE=AF，∠B=∠D，=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，故①正確，
∵BC=DC，
∴CE=CF，
∴⑤△CEF為等腰直角三角形，
由于AE=AF，CW=CF，
∴AC垂直平分EF，故③⑤正確，
∵△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=60°，故②錯誤，
設EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，故④錯誤，
所以答案是：①③⑤．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和線段垂直平分線的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．