Question

已知關于x的方程x²+（a+1）x+b-1=0的兩根之比是2：3，判別式的值為1，求方程的根．

Answer 1

考點：根與系數的關系,根的判別式

專題：計算題

分析：設方程兩根分別為2t，3t，根據判別式的定義得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，根據根與系數的關系得到2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，消去t得到6•（-

a+1

5

）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，然后把①代入②得6（4b-4）=25b-31，可解得b=7，則a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，
再把a=-6，b=7和a=4，b=7代入原方程，然后利用因式分解法求解．

解答：解：設方程兩根分別為2t，3t，
根據題意得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，
2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，
所以t=-

a+1

5

，6t²=b-1，
所以6•（-

a+1

5

）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，
把①代入②得6（4b-4）=25b-31，解得b=7，
則a²+2a=24，即a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，
當a=-6，b=7時，原方程為x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3；
當a=4，b=7時，原方程為x²+5x+6=0，解得x₁=-2，x₂=-3．

點評：本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．